五年前合同已到期，当时已在公司工作十多年也签过三次合同了，后来公司让签合同，我让公司签无固定期限劳动合同，可公司不同意，一直至今没签合同，请问可以申请仲裁要求公司赔偿么？

申请劳动仲裁的流程是怎么样的？
1、争议发生后一年内申请仲裁，递交仲裁申诉书；
2、仲裁委员会收到申诉书之日起五日内作出是否受理的决定；
3、仲裁庭开庭五日前书面通知双方当事人；
4、开庭，明确请求，答辩，调查事实，举证质证，辩论，陈述；
5、调解；
6、调解不成，裁决。

1、在下列情况下，用人单位可以不经通知即解除劳动合同：
(1)在试用期内被证明不符合录用条件的;
(2)严重违反劳动纪律和用人单位的规章制度的;
(3)严重失职，营私舞弊，对用人单位利益造成重大损失的;
(4)被依法追究了刑事责任的。

2、在下列情况下，用人单位要辞退员工须提前30日以书面形式通知劳动者本人：
(1)劳动者患病或者非因公负伤，医疗期满后，不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作的;
(2)劳动者经过培训或调整工作岗位，仍不能胜任工作的;
(3)劳动合同订立时所依据的客观状况发生重大变化，致使原劳动合同无法履行，经当事人协商不能变更劳动合同达成协议的。除此之外，用人单位辞退职工都要给予相应的补偿。

用人单位另行安排的工作的;
(2)劳动者经过培训或调整工作岗位，仍不能胜任工作的;
(3)劳动合同订立时所依据的客观状况发生重大变化，致使原劳动合同无法履行，经当事人协商不能变更劳动合同达成协议的。除此之外，用人单位辞退职工都要给予相应的补偿。

据你所述的情形看，可以通过申请劳动仲裁，对上述期间是否存在劳动关系进行确认。然后根据裁决情况决定下一步的措施。注意搜集你们双方在上述期间存在劳动关系的证据，如证人证言、工资条等。
此外，根据省高院的规定，如果你和大集体之间仍存在劳动关系，现用人单位一般只为你缴纳工伤保险，不支持要求交纳其他社保的主张。