我爸六十岁了，在私人单位上班时突发脑溢血，单位应该承担什么责任？没有劳动合同。

首先给你当地的社保局打电话进行劳动监察投诉；
其次，可以进行劳动仲裁，即社保局的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付工资。如果未签订劳动合同，可以要求支付未签订劳动合同的双倍工资。
如果是以拖欠工资提出的解除劳动关系，还可以要求支付经济补偿金。
再次，向法院提起诉讼，直接去法院起诉该个人老板，要求支付劳动报酬。
相关法条《劳动合同法》第八十五条　用人单位有下列情形之一的，由劳动行政部门责令限期支付劳动报酬、加班费或者经济补偿；劳动报酬低于当地最低工资标准的，应当支付其差额部分；逾期不支付的，责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金：
（一）未按照劳动合同的约定或者国家规定及时足额支付劳动者劳动报酬的；
（二）低于当地最低工资标准支付劳动者工资的；
（三）安排加班不支付加班费的；
（四）解除或者终止劳动合同，未依照本法规定向劳动者支付经济补偿的。
《劳动争议调解仲裁法》第二条 中华人民共和国境内的用人单位与劳动者发生的下列劳动争议，适用本法：
（一）因确认劳动关系发生的争议；
（二）因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议；
（三）因除名、辞退和辞职、离职发生的争议；
（四）因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议；
（五）因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议；
《劳动法》第五十条　工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。
不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资