夫妻单方面杀人，案件还在调查阶段，离婚申请可以吗？离婚后需要承担民事赔偿吗？

哪方申请离婚，和是否能争取抚养权没有直接关系。
关于抚养权的问题，以下法条供您参考。
1.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
1、
两周岁以下的子女，一般随母方生活，母方有下列情形之一的，可随父方生活：
（1）患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；
（2）有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的；
（3）因其他原因，子女确无法随母方生活的。
2.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
2、
父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响的，可予准许。
3.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
3、
对两周岁以上未成年的子女，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：
（1）已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；
（2）子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的；
（3）无其他子女，而另一方有其他子女的；
（4）子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。

关于离婚赔偿问题，例如：
（一）一方婚前所负个人债务的，债权人不得向其配偶主张权利，除非能够证明所负债务用于婚后家庭共同生活。
（二）婚姻关系存续期间夫或妻一方以个人名义所负债务，原则上应按夫妻共同债务处理；但另一方能证明债权人与债务人明确约定为个人债务的除外；能够证明夫妻约定分别所有财产制，且第三人知道该约定的，也除外。
（三）夫或妻一方就共同债务承担连带清偿责任后，可基于合法依据向另一方追偿。
（四）夫或妻一方死亡的，生存一方应对婚姻关系存续期间的共同债务承担连带责任。

离婚损害赔偿的范围应包括物质损害和精神损害。离婚损害赔偿的民事责任方式宜兼采财产责任和非财产责任两种形式。离婚损害赔偿金的数额可由夫妻双方协商，协商不成时，由法官酌定。
离婚精神损害赔偿的责任形式，也可适用非财产责任和财产责任两种方式。过错配偶的违法行为造成无过错配偶的精神创伤的，可以请求给付抚慰金。无过错配偶的名誉权等如受损害的，有权要求停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉等形。