老板拿出一份承认我签名的合同，我也没有直接注意到签名，现在辞职了一个月，他说听他说，如果他不用付500美元就不能拿公寓。

首先，根据我国《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。 　　所以，签订劳动合同是劳动者在和用人单位建立劳动关系必要内容。 　　其次，《劳动合同法》规定： 　　
1、用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。 　　
2、劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。 　　
3、劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。 　　由此可知，尽管签订了劳动合同，劳动者也可以依据上述规定辞职的。 　　相关内容： 　　劳动合同解除和终止的情形 　　
一、用人单位有下列情形之一的，劳动者可以解除劳动合同： 　　
(一)未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件的； 　　
(二)未及时足额支付劳动报酬的； 　　
(三)未依法为劳动者缴纳社会保险费的； 　　
(四)用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的； 　　
(五)因《劳动合同法》第二十六条第一款规定的情形致使劳动合同无效的； 　　
(六)法律、行政法规规定劳动者可以解除劳动合同的其他情形。 　　用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动的，或者用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全的，劳动者可以立即解除劳动合同，不需事先告知用人单位。 　　
二、劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同： 　　
(一)在试用期间被证明不符合录用条件的； 　　
(二)严重违反用人单位的规章制度的； 　　
(三)严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的； 　　
(四)劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的； 　　
(五)因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的； 　　
(六)被依法追究刑事责任的。

补偿的情形有：
1、用人单位未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件的；
2、用人单位未及时足额支付劳动报酬的；
3、用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的；
4、用人单位的规章制度违反法律、法规的规定，损害劳动者权益的；
5、因用人单位原因致使劳动合同无效的；
6、用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动的；
7、用人单位违章指挥、强令冒险作业危机劳动者人身安全的；
8、劳动者与用人单位协商一致解除劳动合同，且解除劳动合同是用人单位提出的；
9、用人单位降低劳动合同约定的条件，劳动者不同意续订的。
如果不存在以上任何一种情形，则单位都没有必须支付给你经济补偿金的法定义务，除非单位自愿支付给你。

劳动合同存续期间，劳动者要求解除劳动关系的，应当提前30日以书面形式提交申请。由此给用人单位造成的损失，应当由劳动者赔偿。只要劳动者履行提前通知的义务，原则上无需用人单位同意。
若用人单位迟迟不办理离职手续，劳动者可以通过劳动仲裁要求解除劳动关系。