劳动仲裁机构劳动争议的调解程序如下：
1、当事人向调解组织提出调解申请；
2、调解组织接到调解申请后，应当及时对调解申请进行审查；
3、受理调解申请后，指定调解员或者调解小组进行调解；
4、达成调解协议的，双方当事人可以自调解协议生效之日起15日内共同向劳动人事争议仲裁委员会提出仲裁审查确认申请。
根据《劳动争议调解仲裁法》第十二条规定，当事人申请劳动争议调解可以书面申请，也可以口头申请。口头申请的，调解组织应当当场记录申请人基本情况、申请调解的争议事项、理由和时间。
《劳动争议调解仲裁法》第十二条
当事人申请劳动争议调解可以书面申请，也可以口头申请。口头申请的，调解组织应当当场记录申请人基本情况、申请调解的争议事项、理由和时间。
