请问如果一方提出离婚，可以申请赔偿吗？

哪方申请离婚，和是否能争取抚养权没有直接关系。
关于抚养权的问题，以下法条供您参考。
1.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
1、
两周岁以下的子女，一般随母方生活，母方有下列情形之一的，可随父方生活：
（1）患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；
（2）有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的；
（3）因其他原因，子女确无法随母方生活的。
2.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
2、
父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响的，可予准许。
3.《最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
3、
对两周岁以上未成年的子女，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：
（1）已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；
（2）子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的；
（3）无其他子女，而另一方有其他子女的；
（4）子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。

一方先提出离婚的不需要赔偿，如果夫妻一方有过错致使婚姻家庭关系破裂 ，离婚时对无过错的一方所受的损失，有过错的一方应承担的民事赔偿责任。婚姻法第46条规定，有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿。
第一，重婚的。

离婚后一方主张赔偿的，根据《中华人民共和国婚姻法》第四十六条规定：“有下列情形之一，导致离婚的，无过错方有权请求损害赔偿：
（一）重婚的；
（二）有配偶者与他人同居的；
（三）实施家庭暴力的；
（四）虐待、遗弃家庭成员的。