公司没跟我签劳动合同，准确来说这个公司根本就没跟任何一个员工签劳动合同，然后公司把我开除了他应不应该赔我工资？

并没有协商一致解除，也没有法定理由解除，要支付赔偿金，标准为双倍的经济补偿金。经济补偿标准为工作满一年支付一个月的工资。
开除员工是对犯错误职工作出的一种最严厉的行政处分形式，它适用于严重违法乱纪的职工，主要包括以下几种情况：
（1）被判刑并入狱服刑的；
（2）二次劳教被注销城市户口的；
（3）留用察看期间表现仍不好的；
（4）严重犯有《用人单位职工奖惩条例》第11条所列七项错误行为之一的。
辞退员工分两种情况，一是违纪辞退，二是正常辞退。
违纪辞退在我国目前一般是指用人单位对严重违反劳动纪律或犯有严重错误，但不够开除、除名条件，经教育或行政处分仍然无效的职工，决定解除其工作从而终止劳动关系的制度。辞退不是行政处分，是一种行政处理，没有处理时限的规定。违纪辞退的条件是：
（1）职工犯有规定的违纪或错误行为；
（2）经过教育或行政处分仍然无效；
（3）尚不够开除或除名条件。
正常辞退是指用人单位根据生产经营状况和富余职工的情况，按照有关规定与职工结束劳动关系的一种行为。例如按照《劳动法》第26条、第27条规定，用人单位与职工解除劳动合同的情形就属于正常辞退职工的情况。

根据《劳动法》规定，用人单位与劳动者签订的劳动合同期限可以分为三类：

（1）有固定期限，即在合同中明确约定效力期间，期限可长可短，长到几年、十几年，短到一年或者几个月。

（2）无固定期限，即劳动合同中只约定了起始日期，没有约定具体终止日期。
无固定期限劳动合同可以依法约定终止劳动合同条件，在履行中只要不出现约定的终止条件或法律规定的解除条件，一般不能解除或终止，劳动关系可以一直存续到劳动者退休为止。

（3）以完成一定的工作为期限，即以完成某项工作或者某项工程为有效期限，该项工作或者工程一经完成，劳动合同即终止。

签订劳动合同，并且劳动者实际入职后，用人单位应该在劳动者入职当月给劳动者缴纳社会保险。
　　只要劳动者入职，双方建立劳动关系，无论是否签订书面劳动合同，用人单位都应该为劳动者缴纳社会保险。
　　《劳动合同法》第十条　建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
　　《社会保险法》第四条　中华人民共和国境内的用人单位和个人依法缴纳社会保险费，有权查询缴费记录、个人权益记录，要求社会保险经办机构提供社会保险咨询等相关服务。
　　个人依法享受社会保险待遇，有权监督本单位为其缴费情况。