工作时不小心把右手食指断了，没有签订劳动合同，公司该怎么赔偿

受伤之后，应当向工程所在地或用人单位所在地的劳动保障局申请工伤认定，并提供工作服、工作证、或工友证言等证据证明劳动关系的成立。工伤认定、伤情稳定后继续向劳动保障局申请伤残鉴定即劳动能力等级鉴定，再根据按鉴定结果向劳动与人事争议仲裁委员会申请劳动争议仲裁，要求用人单位要求承担相应的工伤赔偿。
法律依据：《工伤保险条例》第三十条 职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。
职工治疗工伤应当在签订服务协议的医疗机构就医，情况紧急时可以先到就近的医疗机构急救。
治疗工伤所需费用符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的，从工伤保险基金支付。工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准，由国务院社会保险行政部门会同国务院卫生行政部门、食品药品监督管理部门等部门规定。
职工住院治疗工伤的伙食补助费，以及经医疗机构出具证明，报经办机构同意，工伤职工到统筹地区以外就医所需的交通、食宿费用从工伤保险基金支付，基金支付的具体标准由统筹地区人民政府规定。
工伤职工治疗非工伤引发的疾病，不享受工伤医疗待遇，按照基本医疗保险办法处理。
工伤职工到签订服务协议的医疗机构进行工伤康复的费用，符合规定的，从工伤保险基金支付。

员工没有签订劳动合同出现工伤，用人单位依法缴纳社会保险，由工伤保险基金和用人单位共同支付工伤保险待遇，缴纳社会保险记录可以作为证据证明用人单位与劳动者存在劳动关系。用人单位未为其缴纳工伤保险费的，由用人单位支付全部工伤保险待遇。
法律依据：
《工伤保险条例》第十七条，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。
用人单位未按前款规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
按照本条第一款规定应当由省级社会保险行政部门进行工伤认定的事项，根据属地原则由用人单位所在地的设区的市级社会保险行政部门办理。
用人单位未在本条第一款规定的时限内提交工伤认定申请，在此期间发生符合本条例规定的工伤待遇等有关费用由该用人单位负担。

没签劳动合同但员工发生工伤的，当事人可依法提供能证明存在事实劳动关系的材料去申请工伤认定和工伤赔偿，由工伤保险基金赔偿给员工医疗费、住院伙食补助费、劳动能力鉴定费等费用。如果单位没有为员工参保的，则由单位按规定来赔偿。
法律依据：《中华人民共和国社会保险法》第三十八条
因工伤发生的下列费用，按照国家规定从工伤保险基金中支付：
（一）治疗工伤的医疗费用和康复费用；
（二）住院伙食补助费；
（三）到统筹地区以外就医的交通食宿费；
（四）安装配置伤残辅助器具所需费用；
（九）劳动能力鉴定费。
第三十九条
因工伤发生的下列费用，按照国家规定由用人单位支付：
（一）治疗工伤期间的工资福利；
（二）五级、六级伤残职工按月领取的伤残津贴；
（三）终止或者解除劳动合同时，应当享受的一次性伤残就业补助金。