如果劳动合同到期，公司和劳动者都没有意识到责任应该由谁承担

劳动合同到期，因用人单位方面的原因未办理终止或续订手续而形成事实劳动关系的，视为续订劳动合同，用人单位应及时与劳动者协商合同期限，办理续订手续。由此给劳动者造成损失的，该用人单位应当依法承担赔偿责任。
法律依据：《劳动部关于实行劳动合同制度若干问题的通知》第十四条
有固定期限的劳动合同期满后，因用人单位方面的原因未办理终止或续订手续而形成事实劳动关系的，视为续订劳动合同。
用人单位应及时与劳动者协商合同期限，办理续订手续。由此给劳动者造成损失的，该用人单位应当依法承担赔偿责任。
《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条
用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。

公司没给员工劳动合同公司承担责任如下：
1、劳动者可以申请劳动仲裁，要求该用人单位支付未签劳动合同双倍工资；
2、劳动争议，有证明劳动关系的证据，如工作证或工作牌、工资卡交易记录、工资条、有公司名称的工装、去地税局打印并盖章的个税完税证明、用人单位为你办理的暂住证、考勤记录、社会保险缴纳记录、派工单、同事证言、录音录像或者其它有你名字和公章或老板签字的的书面材料等；
3、申请劳动仲裁，立案时需携带仲裁申请书、身份证复印件、相关证据、用人单位的工商登记信息或营业执照复印件、立案后，开庭，然后调解，调解不成仲裁委会下达裁决书。
劳动合同到期不续签怎么赔偿
劳动合同到期不续签赔偿情况如下：
1、劳动合同到期，用人单位保持现有条件或提高现有条件，劳动者不续签的，用人单位不需要赔偿；
2、用人单位降低现有条件，劳动者不续签的，用人单位需要按照法律规定赔偿双倍赔偿金。
法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第十条
建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。