父亲和母亲没有结婚证，生儿子了可是户口上在父亲的名下，母亲要争抚养权，这个合法吗？

孩子抚养权：第一，两周岁以下的子女，一般随母方生活。 母方有下列情形之一的，可随父方生活：
(1)患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；
(2)有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的；
(3)因其他原因，子女确无法随母方生活的。父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响的，可予准许。 第二，对两周岁以上未成年的子女，父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：
(1)已做绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；
(2)子女随其生活时间较长，改变生活环境对于女健康成长明显不利的；
(3)无其他子女，而另一方有其他子女的；
(4)子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。
(5)父方与母方抚养子女的条件基本相同，双方均要求子女与其共同生活，但子女单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾孙子女或外孙子女的，可作为子女随父或随母生活的优先条件予以考虑。 第三，如果子女是已满10周岁的未成年人，父母双方对于女随父或随母生活发生争执时，应考虑该子女的意见。在有利于保护子女利益的前提下，父母双方协议轮流抚养子女的，可予准许。父母离婚后，子女随哪方生活，一般是根据;有利于子女健康成长;的原则来决定。《婚姻法》第三十六条第三款规定：;离婚后，哺乳期内的子女，以随哺乳的母亲抚养为原则。哺乳期后的子女，如双方因抚养问题发生争执不能达成协议时，由人民法院根据子女的利益和双方的具体情况判决。

你们对于离婚的财产分割、孩子抚养都可以协商的，如果起诉离婚比较复杂。法院首先要审查你的离婚理由是否充足，夫妻感情是否破裂的一系列问题，如果准予离婚，房屋和存款属于夫妻共同财产会依法分割的，分割时还要根据导致夫妻感情破裂的原因区分责任。
遵循过错一方照顾无过错一方的原则进行分割，孩子的抚养权主要针对有利于孩子健康成长方面，如果都有抚养资格，你的孩子较小母亲抚养孩子肯定会对孩子有利，法院会判决由你抚养的，对方来承担抚养费。

先进行收养登记，再上孩子户口。
根据《收养法》第六条规定：收养人应当同时具备下列条件：
(一)无子女；
(二)有抚养教育被收养人的能力；
(三)未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病；
(四)年满三十周岁。
收养人符合以上收养条件的，应当向县级以上民政部门申请登记。有了正式收养手续，才能办理孩子的户口登记。
《收养法》
第十五条 收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。
收养关系自登记之日起成立。
收养查找不到生父母的弃婴和儿童的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。
收养关系当事人愿意订立收养协议的，可以订立收养协议。
收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。
第十六条 收养关系成立后，公安部门应当依照国家有关规定为被收养人办理户口登记。