孩子4个月，女方以性格不合提出离婚，并请了律师到法院起诉，要求男方每月支付抚养费5000元？应该怎么办？

首先双方可以协商解决离婚事宜，对离婚、财产分割、债权债务等问题进行协商，达成一致可签订离婚协议，拿离婚协议等材料去婚姻登记机关办理离婚手续。如果协商不成，如想离婚，只能是向被告所在地的人民法院起诉，要求解除婚姻关系，并对财产分割、债权债务等问题进行一并处理。
法院在审查双方提交的证据后，审查夫妻感情是否破裂，如破裂则判决离婚，如有和好可能则判决不予离婚

夫妻离婚孩子的抚养权归属主要是从有利于孩子的成长为立足点。同时要根据几个条件：一孩子的年龄，二是夫妻的经济条件，三是父母双方的品德。
　　《婚姻法》第36条第
2、3款规定：“离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。离婚后，哺乳期内的子女，以随哺乳的母亲抚养为原则。哺乳期后的子女，如双方因抚养问题发生争执不能达成协议时，由人民法院根据子女的权益和双方的具体情况判决。”
　　《子女抚养意见》第4条规定，父方与母方抚养子女的条件基本相同，双方均要求子女与其共同生活，但子女单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾孙子女或外孙子女的，可作为子女随父或母生活的优先条件予以考虑。
　　考虑子女意见。由于10周岁以上的未成年人通常有了一定的辨别和判断能力，能够表达自己的意愿，因此，《子女抚养意见》第5条规定，父母双方对10周岁以上的未成年子女随父或随母生活发生争执的，应考虑该子女的意见。
　　最关键的一点，父母双方均要求子女随其生活的，另一方有违法犯罪行为（如赌博）的，和其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的，一方有绝对优先直接抚养条件。当然，应当提供确切的证据。

男方提出离婚，如果小孩十个月，法院不会立案受理的，因为在女方分娩一年之内，男方不得起诉离婚。
如果女方起诉，正常情况下，不满两周岁的孩子会判给女方抚养。
《婚姻法》第三十四条 女方在怀孕期间、分娩后一年内或中止妊娠后六个月内，男方不得提出离婚。女方提出离婚的，或人民法院认为确有必要受理男方离婚请求的，不在此限。
最高人民法院关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
1、两周岁以下的子女，一般随母方生活。母方有下列情形之一的，可随父方生活：
(1)患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的；
(2)有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的；
(3)因其他原因，子女确无法随母方生活的。