在公司工作了4个月零17天之后，我突然收到了公司的解雇通知。公司应该赔偿解雇吗？

违法辞退，不支付代通知金。这是正确的。其他问题，需要研究你的案卷后才能给你正确的意见。　　辞退赔偿金是指用人单位违反劳动合同法或其他相应规定解除或者终止劳动合同，且劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位按照劳动者工作年限向劳动者支付赔偿金。
　　代通知金是指用人单位在提出解除劳动合同或终止劳动合同时应该提前一个月通知，如果用人单位没有依法提前一个月通知的情况下，可以给付一个月工资作为代替。

劳动者可以申请劳动仲裁，要求用人单位支付违法辞退的赔偿金。
　　如何申请劳动仲裁：
　　
1、去当地人力资源和社会保障局（原劳动局）内的劳动争议仲裁委，申请劳动仲裁，立案时需携带：仲裁申请书2份、申请人身份证复印件1份；相关证据复印件和证据清单2份；用人单位的工商登记信息（北京地区不需要提供登记信息）。
　　
2、提交材料后，5个工作日仲裁委给予立案，然后给双方举证期，给对方答辩期；然后开庭审理，之后对你们双方进行调解，调解不成仲裁委会下达裁决书；劳动仲裁60天内结案；对于裁决书不服，劳动者可以起诉到法院；
　　
3、申请劳动仲裁期间，不耽误劳动者去新单位工作。
　　用人单位无故辞退劳动者的，应当向劳动者支付赔偿金，按照每做满一年支付2个月的工资作为赔偿。
　　《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
　　第八十七条用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

劳动者提出离职分三种情况，只有第1种情况有补偿：
　　
1、用人单位存在《劳动合同法》38条的情况，劳动者书面提出解除劳动关系后可以立即走人不需要用人单位的批准，并可以要求支付剩余的工资及经济补偿金（每工作1年支付1个月工资）及办理离职手续等；
　　
2、依据《劳动合同法》37条，劳动者提前30天提出的书面离职，不需要用人单位批准就可以离职。其中，试用期提前3天书面提出；用人单位有义务结清工资办理离职手续。
　　
3、没有提前30天提出离职，用人单位也不存在《劳动合同法》38条的情况，劳动者直接提交辞职信就走人，这个时候就是劳动者违法，给用人单位造成的直接经济损失、招聘该劳动者产生的费用，用人单位可以要求承担。