如果独生子女死亡并留下孩子，失去独生子女的妇女能有监护权吗？

独生子女的判定标准：
(1)夫妻双方只生育一个子女或所生育子女只有一个存活的;
(2)无子女的夫妻依法只收养一个子女的;
(3)由社会福利机构抚养成人且没有兄弟姐妹的;
(4)只生育一个子女的夫妻离异后，一方依法与该子女共同生活，独生子女未再婚或与无子女的人再婚但没有生育的。
再婚夫妻，双方各有一个子女，原夫妻关系存续期间所生育子女已领取独生子女父母光荣证的，再婚后未再生育或收养子女的，可以继续享受独生子女父母待遇。
再婚夫妻，一方未生育过，另一方生育过一个子女且领取独生子女父母光荣证，再婚后未再生育或收养子女的，生育子女的一方可继续享受独生子女父母待遇

子女抚养权：人民法院审理离婚案件，对子女抚养问题，从有利于子女身心健康，保障子女的合法权益出发，结合父母双方的抚养能力和抚养条件等具体情况妥善解决。即小孩的抚养权关键是看小孩由谁抚养对小孩的成长生活更为有利。
子满两周岁未满十周岁的，一般由对其成长有利的一方抚养，另一方支付抚养费。孩子满十周岁的，归谁抚养还要征求孩子的意见。抚养子女的一方可以向未抚养子女的一方要求抚养费子女抚育费的数额：离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议;协议不成时，由人民法院判决。
可根据子女的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平确定。关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。
有固定收入的，抚育费一般可按其月总收入的百分之二十至三十的比例给付。负担两个以上子女抚育费的，比例可适当提高，但一般不得超过月总收入的百分之五十。无固定收入的，抚育费的数额可依据当年总收入或同行业平均收入，参照上述比例确定。
有特殊情况的，可适当提高或降低上述比例。

出现以下情形的，未成年子女的抚养权往往会判归女方：
1、两周岁以下的子女，一般随母方生活；
2、已作绝育手术或因其他原因丧失生育能力的；
3、子女随其生活时间较长，改变生活环境对子女健康成长明显不利的；
4、无其他子女，而另一方有其他子女的；
5、子女随其生活，对子女或长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的；
6、双方抚养子女的条件基本相同，但子女单独随外祖父母生活多年，且外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾外孙子女的；
7、十周岁以上的子女主动要求与母亲生活的。 具体举个例子来说，假如离婚时子女已经年满四岁，女方经济状况又较差，那么女方要想争取子女的抚养权，应当从以下九个方面收集证据：
1、医疗机构出具的，女方已作绝育手术或丧失生育能力的诊断证明；
2、子女长时间随其生活，对子女的生活及教育倾心关注的证明；
3、对方有其他子女的证明(如户籍上的子女情况)；
4、医疗机构出具的另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病的诊断证明；
5、对方有吸毒、赌博、酗酒等恶习，或有虐待等不利于子女身心健康的证明；
6、子女随外祖父母单独生活多年，外祖父母要求且有能力帮助照顾外孙子女的证明；
7、女方有相应的工作能力及经济收入的证明。