在工作了一个半月之后，公司无故被解雇，没有签订劳动合同，也没有购买社会保险。

劳动合同的签订期限：劳动合同的期限分为有固定期限、无固定期限和以完成一定的工作为期限。
（一）有固定期限的劳动合同，亦称定期劳动合同。是指劳动者和用人单位在订立合同时就明确约定了效力期间的劳动合同。
其期限可长可短，长到几年、十几年；短到一年或者几个月。
（二）无固定期限劳动合同，亦称不定期劳动合同。是指劳动合同中只约定了起始日期，没有约定具体终止日期的劳动合同。
无固定期限劳动合同可以依法约定终止劳动合同条件，在履行中只要不出现约定的终止条件或法律规定的解除条件，一般不能解除或终止，劳动关系可以一直存续到劳动者退休为止。
（三）以完成一定工作为期限的劳动合同。
是指劳动者与用人单位订立的以完成某项工作或者某项工程为有效期限的劳动合同，该项工作或者工程一经完成，劳动合同即终止。

1、企业辞退员工，根据辞退的原因不同相应的补偿也不同。具体说明：第一，无故辞退员工，单位需要支付双倍经济补偿的赔偿金。第二，合同到期辞退员工，单位需要支付经济性补偿。第三，单位经济性裁员，辞退员工需要支付经济性补偿。第四，员工严重违反公司纪律，单位不需要支付补偿。第五，试用期被以不符合录用条件被辞退是无经济补偿的。　　
2、法律依据：《劳动合同法》　　第三十九条劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：　　
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；　　
（二）严重违反用人单位的规章制度的；　　
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；　　
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；　　
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；　　
（六）被依法追究刑事责任的。　　第四十一条有下列情形之一，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员：　　
（一）依照企业破产法规定进行重整的；　　
（二）生产经营发生严重困难的；　　
（三）企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；　　
（四）其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。　　裁减人员时，应当优先留用下列人员：　　
（一）与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的；　　
（二）与本单位订立无固定期限劳动合同的；　　
（三）家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的。　　用人单位依照本条第一款规定裁减人员，在六个月内重新招用人员的，应当通知被裁减的人员，并在同等条件下优先招用被裁减的人员。　　第四十二条劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：　　
（一）从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的；　　
（二）在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的；　　
（三）患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；　　
（四）女职工在孕期、产期、哺乳期的；　　
（五）在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的；　　
（六）法律、行政法规规定的其他情形。　　第四十四条有下列情形之一的，劳动合同终止：　　
（一）劳动合同期满的；　　
（二）劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的；　　
（三）劳动者死亡，或者被人民法院宣告死亡或者宣告失踪的；　　
（四）用人单位被依法宣告破产的；　　
（五）用人单位被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散的；　　
（六）法律、行政法规规定的其他情形。　　第四十五条劳动合同期满，有本法第四十二条规定情形之一的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。但是，本法第四十二条第二项规定丧失或者部分丧失劳动能力劳动者的劳动合同的终止，按照国家有关工伤保险的规定执行。　　第四十六条有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：　　
（一）劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的；　　
（二）用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；　　
（三）用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的；　　
（四）用人单位依照本法第四十一条第一款规定解除劳动合同的；　　
（五）除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的；　　
（六）依照本法第四十四条第四项、第五项规定终止劳动合同的；　　
（七）法律、行政法规规定的其他情形。　　第四十七条经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。　　劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。　　本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。　　第八十七条用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

没签劳动合同，要付双倍的工资，《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年位于劳动者订立劳动的同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。
单位必须给在职员工办理社保，社保是法定的，《社会保险法》第八十四条规定：
1、用人单位不办理社会保险登记的，由社会保险行政部门责令限期改正；
2、逾期不改正的，对用人单位处应缴社会保险费数额一倍以上三倍以下的罚款；
3、对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员处五百元以上三千元以下的罚款。