在与该公司签订无限期合同后，该公司由于白血病而根据劳动法获得了10个月的病假。

为保护企业的合法权益，劳动合同应约定明确的期限。在实践中，确实有一些职工在工作中表现消极，经常违反企业规章和劳动纪律但情节又够不上劳动法规定的解除劳动关系情形，在这种情况下，企业要解除劳动关系就要支付经济补偿金，而不解除劳动关系又给企业造成损失。
在另外一些情况下(如职工不胜任工作)，企业虽有权解除劳动合同，但要支付经济补偿金。而劳动合同到期终止，企业并不需要支付经济补偿金(国有企业除外)。因此，如果约定明确的劳动合同期限(不宜太长)，企业就有相当的主动权，可以避免承担因辞退引发的赔偿责任。

根据我国劳动法的有关规定，病假，是指劳动者本人因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，企业应该根据劳动者本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定的医疗假期。病假期劳动者可照常拿工资，对于病假工资，不低于当地最低工资的80%。

根据《劳动合同法》第7条规定，劳动者自用工之日起，与用人单位建立劳动关系；
2、根据《劳动合同法》第十四条无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
（二）用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
3、因此，你是可以要求用人单位与你签订无固定期限劳动合同的。
4、但是，根据《劳动合同法》第五十八条劳务派遣单位是本法所称用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。劳务派遣单位与被派遣劳动者订立的劳动合同，除应当载明本法第十七条规定的事项外，还应当载明被派遣劳动者的用工单位以及派遣期限、工作岗位等情况。劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬；被派遣劳动者在无工作期间，劳务派遣单位应当按照所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。
5、由于你是派遣工，你的劳动关系是与劳务派遣公司建立的，并不是与银行建立的。因此，你只能要求与劳务派遣公司签订无固定期限劳动合同。
6、同时，同样根据《劳动合同法》第82条第二款规定：“用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
7、如果劳务派遣公司不与你签订无固定期限劳动合同，你是可以要求劳务派遣公司支付双倍工资的。