未婚的孩子出生，父亲死了，女人放弃了监护权，可以给孩子祖父监护权吗？

父母对子女有抚养的义务,不能放弃。
　　如果实在没有抚养能力，可以和孩子另一位监护人协议变更孩子抚养权。
　　如果双方都没有能力抚养孩子，有孩子祖父母或者外祖父母协议孩子的抚养问题，
　　《婚姻法》规定：
　　第二十八条有负担能力的祖父母、外祖父母，对于父母已经死亡或父母无力抚养的未成年的孙子女、外孙子女，有抚养的义务。
有负担能力的孙子女、外孙子女，对于子女已经死亡或子女无力赡养的祖父母、外祖父母，有赡养的义务。
第二十九条有负担能力的兄、姐，对于父母已经死亡或父母无力抚养的未成年的弟、妹，有扶养的义务。
由兄、姐扶养长大的有负担能力的弟、妹，对于缺乏劳动能力又缺乏生活来源的兄、姐，有扶养的义务。
　　第三十六条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。
离婚后，哺乳期内的子女，以随哺乳的母亲抚养为原则。哺乳期后的子女，如双方因抚养问题发生争执不能达成协议时，由人民法院根据子女的权益和双方的具体情况判决。

非婚生子女的生母与他人结婚的，若继父愿意负担子女的生活费和教育费的一部或全部的，则生父的抚养费和教育费可酌情减少或免除。若继父不愿意负担，则生父应支付的抚育费不能减免。　　我国婚姻法第二十五条规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何人不得加以危害和歧视。　　不直接抚养非婚生子女的生父或生母，应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能独立生活为止。　　此外，最高人民法院《关于人民法院审理未办结婚登记而以夫妻名义同居生活案件的若干意见》也规定，解除非法同居关系时，双方所生的非婚生子女享有的权利和婚生子女一样。　　实践中，有这样几种情况：　　
一、非婚生子女由生母实际抚养，即与生母共同生活，那么，非婚生子女的生父应负担子女必要的生活费和教育费的一部或全部，直至子女能独立生活为止。负担多少、负担的方式，应根据子女的生父和生母的经济状况，先由父母双方协商确定，协商不成，非婚生子女的生父拒绝履行抚养义务的，非婚生子女或其生母可诉请法院以判决的形式强制非婚生子女的生父依法履行抚养义务。　　
二、非婚生子女的生母与他人结婚的，若继父愿意负担子女的生活费和教育费的一部或全部的，则生父的抚养费和教育费可酌情减少或免除。若继父不愿意负担，则生父应支付的抚育费不能减免。　　
三、当非婚生子女的生父母将孩子送与他人收养时，那么孩子与收养人之间形成法律拟制的父母子女关系，这时，非婚生子女由养父母抚养，其与生父母之间的权利义务关系解除，其生父母不再负担抚养义务。　　
四、非婚生子女的生父要求子女与其共同生活，即要求实际抚养子女时，可与子女的生母协商解决。协商不成，可请求法院作出处理。法院应根据有利于子女身心健康成长的原则，并考虑双方的具体情况确定由何方抚养。在非婚生子女有识别能力的情况下，还应征求非婚生子女的意见。若法院审查后确定由生父实际抚养非婚生子女，那么，非婚生子女的生母应负担该子女必要的生活费和教育费的一部或全部，直至子女能独立生活为止。

根据中华人民共和国法律，私生子女与婚生子女享有平等的权益，私生子女同样有遗产继承权。
《中华人民共和国婚姻法》第二十五条规定：非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何人不得加以危害和歧视。
不直接抚养非婚生子女的生父或生母，应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能独立生活为止。在法律上并没有非婚生子女抚养费的内容这一项，这是因为非婚生子女抚养费和婚生子女抚养费一样，都属于抚养费的范畴。