2004年的刑事案件，判决书上写了民事赔偿，对方一直没支付，直到最近对方找律师提出支付赔偿问题

除了人身损害以外，财物被毁坏的也可以提起附带民事诉讼；但必须注意的是，根据最高人民法院《关于刑事附带民事诉讼范围问题的规定》中的上述规定，如果受害人的财物不是被毁坏而是被侵占或非法处置，是不可以提起附带民事诉讼的。关于这一点，《规定》在第五条作了详细的规定：“犯罪分子非法占有、处置被害人财产而使其遭受物质损失的，人民法院应当依法予以追缴或者责令退赔。
被追缴、退赔的情况，人民法院可以作为量刑情节予以考虑。经过追缴或者退赔仍不能弥补损失，被害人向人民法院民事审判庭另行提起民事诉讼的，人民法院可以受理。”也就是说，如果被告人只是非法占有、处置受害人的财产而不是毁坏其财产的话话，受害人只能要求其退赔。
如果无法退赔，则只能另行提起民事诉讼。日常生活中最常见的例子是盗窃、诈骗等案件，对于这些案件的受害人是不能提起刑事附带民事诉讼的。而对于诸如故意毁坏公私财物罪、放火罪等案件，受害人则可以提起附带民事诉讼。

一、刑事诉讼附带民事诉讼的范围：因人身权利受到犯罪侵犯而遭受物质损失或者财物被犯罪分子毁坏而遭受物质损失的。　　
二、此问题容易混淆的存在以下几个方面：　　
1、如盗窃、诈骗罪中涉及的赃款，能否提出附带民事诉讼？　　不能。犯罪分子非法占有、处置被害人财产而使其遭受物质损失的，属于司法机关公权力追缴的范围。　　
2、被害人能否提起精神赔偿？目前相关法律及法院基本不支持精神赔偿。　　相关法律规定：　　《最高人民法院关于刑事附带民事诉讼范围问题的规定》法释〔2000〕47号　　根据刑法第三十六条、第三十七条、第六十四条和刑事诉讼法第七十七条的有关规定，现对刑事附带民事诉讼的范围问题规定如下：　　第一条　因人身权利受到犯罪侵犯而遭受物质损失或者财物被犯罪分子毁坏而遭受物质损失的，可以提起附带民事诉讼。　　对于被害人因犯罪行为遭受精神损失而提起附带民事诉讼的，人民法院不予受理。　　第二条　被害人因犯罪行为遭受的物质损失，是指被害人因犯罪行为已经遭受的实际损失和必然遭受的损失。　　第三条　人民法院审理附带民事诉讼案件，依法判决后，查明被告人确实没有财产可供执行的，应当裁定中止或者终结执行。　　第四条　被告人已经赔偿被害人物质损失的，人民法院可以作为量刑情节予以考虑。　　第五条　犯罪分子非法占有、处置被害人财产而使其遭受物质损失的，人民法院应当依法予以追缴或者责令退赔。被追缴、退赔的情况，人民法院可以作为量刑情节予以考虑。　　经过追缴或者退赔仍不能弥补损失，被害人向人民法院民事审判庭另行提起民事诉讼的，人民法院可以受理。

你的问题不是很明确，可能涉及两个问题，首先是刑事附带民事诉讼刑事附带民事诉讼是指司法机关在刑事诉讼过程中，在解决被告人刑事责任的同时，附带解决因被告人的犯罪行为所造成的物质损失的赔偿问题而进行的诉讼活动。刑事诉讼法第99条规定，被害人由于被告人的犯罪行为而遭受物质损失的，在刑事诉讼过程中，有权提起附带民事诉讼。
如果是国家、集体财产遭受损失的，人民检察院在提起公诉的时候，可以提起附带民事诉讼。人民法院在必要的时候，可以查封或者扣押被告人的财产。而你所说的，刑事案件民事赔偿后，被告起诉，我认为是指被告上诉。
根据我国的刑法，刑事附带民事诉讼本质上就是民事诉讼，适用民事诉讼的一切规则。因此，民事被告人在判决后可以上诉。但你所说的起诉，不知道知不是指另行起诉。根据一事不再理的原则，基于统一原因，法院一般不会受理另行起诉。
希望能帮到你。