我是超市的促销员。今天，顾客们从我家买了过期的东西，把它们分开，要求我支付更多的赔偿

赔偿指对损失、损坏或伤害的补偿；对受害的一方补偿或赔款。要对责任进行认定，如果是超市的责任是要赔偿的。根据我国《消费者权益保护法》第十一条舰定：消费者因购买、使用商品或接受服务受到财产或者人身损害的。
享有依法获得赔偿的权利

按照店里的相关规定办理

如果消费者买到过期食品，可以要求商户退货或者更换，去找商户索赔，经营超过保质期的食品、食品添加剂、食品相关产品，造成人身、财产或者其他损害的，依法承担赔偿责任。生产不符合食品安全标准的食品或者销售明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者销售者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金，赔偿金额不足一千元的，赔偿一千元。
法律依据：《中华人民共和国食品安全法》 第一百四十八条 消费者因不符合食品安全标准的食品受到损害的，可以向经营者要求赔偿损失，也可以向生产者要求赔偿损失。接到消费者赔偿要求的生产经营者，应当实行首负责任制，先行赔付，不得推诿；属于生产者责任的，经营者赔偿后有权向生产者追偿；属于经营者责任的，生产者赔偿后有权向经营者追偿。
生产不符合食品安全标准的食品或者经营明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者经营者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。
但是，食品的标签、说明书存在不影响食品安全且不会对消费者造成误导的瑕疵的除外。