工作半年前的三个月是研修期，研修期结束后没有签订劳动合同，希望退休后等一个月

　　用人单位与劳动者签订劳动合同后，未给劳动者缴纳社会保险，用人单位违法。
　　用人单位在劳动者入职的当月就应该为劳动者缴纳各项社会保险。
　　《社会保险法》第八十四条　用人单位不办理社会保险登记的，由社会保险行政部门责令限期改正；逾期不改正的，对用人单位处应缴社会保险费数额一倍以上三倍以下的罚款，对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员处五百元以上三千元以下的罚款。

一、实习期是什么意思　　实习期是指在校学生充分结合自己的理论知识，参加社会实践工作，以充分提高自身综合素质和工作适应能力的一段时期。它有助于学生将来找到一份适合自己的职业;或是提前熟悉即将就职单位的基本情况，给本人和聘用单位相互熟悉、了解的机会。实习期也指，想达到某种实战效果或技能，但是不太熟悉或熟练，通过实践和学习这个阶段，达成预期的目的!(各种技能实习较为常见，例如记者、驾驶员、维修员、飞行员......)　　实习期，一般为约定工时的90180天，但这段时间根据个人的实习情况，或单位组织的不同也有所不同，尤其像医疗行业尤为特殊，一般实习期最少为半年，长的有时会超过一年半时间。　　实习，是指学生在校期间，到单位的具体岗位上参与实践工作的过程，其针对的是在校学生。　　关于实习，劳动部《关于贯彻执行劳动法若干问题的意见》第12条规定：在校生利用业余时间勤工助学，不视为就业，未建立劳动关系，可以不签订劳动合同。　　学生在实习期间发生伤害事故，不属于工伤，不能享受工伤保险待遇，但可以以雇佣关系向用人单位主张权利，或由学校基于与单位之间的实习合同的相关约定主张权利。　　实习期只适用于在校学生。一些用人单位为了逃避保险或最低工资的限制，故意与符合劳动者资格的非在校学生签订实习协议，这是违法的也是无效的。实际上即便签订实习协议，用人单位和非在校学生也存在事实劳动关系。　　作为用人单位，应该与实习生签订实习协议，或与实习生、实习生所在的学校签订三方协议，明确实习生的实习时间、工作时间、实习费、实习内容等细节。同时用人单位可以为实习生购买商业保险，避免实习过程中发生因工受伤后产生经济赔偿纠纷。　　实习期间实习生须努力并且注重实践。　　
二、实习期是否签订劳动合同　　劳动合同的一方当事人必须是劳动者。学徒和实习不属于劳动，不适用劳动合同法。　　学徒工、实习工和试用工不同。　　
1、试用工需要有上岗资格证书，学徒、实习人员不需要资格证书，通过学徒、实习才能取得上岗证书。　　
2、试用工需要独立完成单位的生产任务，学徒、实习人员不能独立操作，只能在师傅指导下操作，所完成的工作质量由师傅负责，完成的数量属于师傅的工作量。　　
3、劳动者的试用期为一个月到六个月，学徒期、实习期为一年到三年。　　
4、试用工有劳动报酬，工资标准为同工种工资的80%，不得低于当地最低工资标准。学徒、实习没有工资或者只发适量的生活费。　　
5、试用工属于劳动合同法调整的范围，学徒和实习属于职业教育法调整的范围。　　学徒工、实习工的法律特征：　　
1、学徒、实习不属于劳动关系，属于职业培训关系。只有学徒、实习期满，符合用人单位录用条件，双方在平等自愿、协商一致的原则下，签订劳动合同，才能确立劳动关系。　　
2、建立学徒、实习关系的目的，旨在建立正式的劳动关系。受训者是否能够达到预期的培训要求，是决定能否建立劳动关系的主要依据。　　学徒，是一种传统职业培训方法。过去的各种专业技术人员都是通过学徒学到的知识和技能。不仅木工、瓦工、电工、车工、钳工、铣工、焊工需要学徒，就是许多著名的老中医、戏剧表演艺术家、画家、设计师也都没有学历只有学徒经历。现在在戏剧届、曲艺界、武术届还是必须举行拜师仪式，师徒关系非常重要，说不上是谁的徒弟，本行业就不承认他的地位。　　新中国成立后，学徒仍然是职业培训的主要途径。1996年出台的《中华人民共和国职教育法》确定了六种职业教育方式。
1、学徒培训。　　
2、学校培训(包括技工学校、职业中学和成人教育)。　　
3、就业训练中心培训(对象是失业人员)。　　
4、民办学校。　　
5、劳动预备制度。　　
6、职工教育。包括上岗前的上岗培训和、在岗职工的业余培训和脱产培训。可见，学徒属于职业教育的一种方式。　　实习，是一种特殊的学徒关系。有一些特殊工种，不仅需要专业知识，还需要实践技能。从事相关职业，即要求学校培训，又要求学徒培训，两种培训都完成后才能取得上岗证书。

其一，若用人单位自用工之日起超过一个月而不满一年未与劳动者签订劳动合同，劳动者可以向用人单位主张双倍工资，其二，若因用人单位自身原因而与劳动者解除劳动合同，劳动者可以向用人单位主张经济补偿金，（经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。）就以上问题建议双方协商处理，若双方协商不成，劳动者可以向劳动监察大队投诉，也可以申请劳动仲裁。