我的孩子在公立学校读三年级，因为孩子在玩，从教室楼下三楼，楼梯的护栏时不小心掉到了二楼的楼梯中间，脊柱的很多地方骨折，学校最初没有被送到县人民医院，学校负责吗？ 我应该承担那些责任吗？

根据中华人民共和国《民法通则》及相关司法解释规定，第三人侵权致未成年人遭受人身损害的，学校、幼儿园等教育机构有过错的，应当承担相应的补充赔偿责任。
学校对未成年学生之间打闹致伤是否承担赔偿责任，取决于学校是否尽到了职责范围内的教育、管理、保护义务。
如果学校没有尽到职责范围内的相关义务，则应承担补充赔偿责任。学校应当承担的责任与学校尽到义务所能防止的损害赔偿的范围相一致，也就是说，这种补充赔偿责任是一种有限度的过错责任。

要看是什么原因摔伤的，
1、第三人侵权致未成年人遭受人身损害的，应当承担赔偿责任。
2、学校、幼儿园等教育机构有过错的，应当承担相应的补充赔偿责任。可以这么说，应首先由造成该损害的直接责任人承担，如果直接责任人能够全部承担赔偿责任，则学校就无须承担补充责任。
如果直接责任人的经济能力只能承担部分或大部分的赔偿责任，那么剩余的赔偿责任就由学校来承担。当直接责任人完全不能承担赔偿责任时就由学校来承担全部的赔偿责任。可以通过诉讼解决，起诉那个五年级学生的监护人，同时列学校为第二被告，要求二被告赔偿。
相关法律
最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释
第七条　对未成年人依法负有教育、管理、保护义务的学校、幼儿园或者其他教育机构，未尽职责范围内的相关义务致使未成年人遭受人身损害，或者未成年人致他人人身损害的，应当承担与其过错相应的赔偿责任。
　　第三人侵权致未成年人遭受人身损害的，应当承担赔偿责任。学校、幼儿园等教育机构有过错的，应当承担相应的补充赔偿责任。

根据《医疗事故处理条例》等规定，医疗事故赔偿，应当考虑下列因素，确定具体赔偿数额：
（一）医疗事故等级；
（二）医疗过失行为在医疗事故损害后果中的责任程度；
（三）医疗事故损害后果与患者原有疾病状况之间的关系。不属于医疗事故的，医疗机构不承担赔偿责任。
医疗事故赔偿，按照下列项目和标准计算：医疗费、误工费、住院伙食补助费、陪护费、残疾生活补助费、残疾用具费、丧葬费、被扶养人生活费、交通费、住宿费、精神损害抚慰金。