公司和员工签订劳动合同是否需要向劳动部门备案，或者和劳动部门签订第三方合同。如果公司辞退违反公司规定的员工，劳动部门是否会留下员工的不良记录？

第一，协商解除。用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。　　第二，过失性辞退。劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：　　
(一)在试用期间被证明不符合录用条件的;　　
(二)严重违反用人单位的规章制度的;　　
(三)严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的;　　
(四)劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的;　　
(五)因以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的情形致使劳动合同无效的;　　
(六)被依法追究刑事责任的。　　第三，非过失性辞退。有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：　　
(一)劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的;　　
(二)劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的;　　
(三)劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。　　第四，经济性裁员。有下列情形之一，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员：　　
(一)依照企业破产法规定进行重整的;　　
(二)生产经营发生严重困难的;　　
(三)企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的;　　
(四)其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。裁减人员时，应当优先留用下列人员：　　
(一)与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的;　　
(二)与本单位订立无固定期限劳动合同的;　　
(三)家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的。　　用人单位依照本条第一款规定裁减人员，在六个月内重新招用人员的，应当通知被裁减的人员，并在同等条件下优先招用被裁减的人员。

未签定劳动合同，出现工伤事故索赔：发生劳动争议后，当事人不能直接到法院起诉。必须先向劳动仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，才可进入诉讼程序。
解决的关键在于取证问题。
根据"谁主张谁举证"的原则，劳动者向劳动相应证据。只有证明双方存在劳动关系并且造成劳动者受伤的事故确属工伤事故的情况下，用人单位才会承担相应的赔偿责任。但由于双方没有签定劳动合同，且用人单位又极力否认存在着事实上的劳动关系，相应的举证便较难实现。
比较可行的办法是求助于当地的劳动监察部门，请求他们调查此事，取得当事人之间存在劳动关系的证据；同时进行工伤鉴定，取得该事故确属工伤事故的证据，以便劳动争议仲裁委员会立案。
在证实确属工伤事故的前提下，用人单位应负责支付伤、残劳动者的医疗费，以及残疾赔偿金，残疾赔偿金的数额根据丧失劳动能力的程度确定。造成全部丧失劳动能力的，对其抚养的无劳动能力的人，还应当支付生活费。
造成死亡的，应当支付死亡赔偿、丧葬费，对死者生前抚养的无劳动能力的人，还应当支付生活费。

根据我国的劳动法的规定，公司是需要给员工去买这个社会的保险的，这个是公司的义务的，另外，你们在劳动合同中是否约定，也是没有关系的，也不影响公司的这个法定的义务的，另外，如果公司不买，你可以到劳动局去投诉的。因此，签订合同的通常情况下，用人单位应当依法为员工购买社会保险。